Continuidad de una función en un punto

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Continuidad de una función en un punto

Sean las siguientes funciones definidas analítica y gráficamente:

f : R - {-2} ® R	g : R ® R
x ®	x ®

h : R ® R	m : R ® R
x ®	x ® x - 2

Las funciones f y g son discontinuas en x = -2 mientras que las funciones h y m son continuas en x = -2.

Del análisis de estas funciones resulta que:

	La función y = f(x) no está definida en x = –2. El límite de y = f(x) es –4 cuando x ® –2.
	La función y = g(x) está definida en x = –2 de manera tal que g(-2) = -2. El límite de y = g(x) es igual a –4 cuando x ® –2 y puede observarse que el resultado de este límite no coincide con el valor de la función en el punto, es decir: g(–2) ¹ –4.
	La función y = h(x) está definida en x = –2 ya que h(- 2) = -4. El límite de h(x) es -4 cuando x ® –2 y coincide con el valor de la función en x = –2.
	Las función y = m(x) está definida en x = –2 dado que m(-2) = -4. El límite de m(x) es -4 cuando x ® –2 y coincide con el valor de la función en x = –2.

Definición 1. Una función y = f(x) es continua en x = a si .

Si la función y = f(x) no es continua en x = a, se dice que es discontinua en a, o que tiene una discontinuidad en a.

Definición 2. Se dice que la función y = f(x) es una función continua en x = a si se cumplen las siguientes condiciones:

a) existe f(a). Es decir, a pertenece al dominio de f.

b) existe

Si alguna de estas condiciones no se cumple se dice que f es discontinua en x = a.

Ejemplo. Dadas las siguientes gráficas de funciones discontinuas en x = 5, enuncie y exprese simbólicamente la causa por la cual se produce la discontinuidad en dicho valor.

i)	ii)
iii)	iv)

i) La discontinuidad se produce porque la función no está definida en x = 5, esto significa que el valor 5 está excluido del dominio de la función y existe el límite cuando x tiende a 5 y dicho límite vale 4.

ii) Existe la imagen de 5 y también existe el límite de la función cuando x tiende a 5 pero ambos son distintos.

f(5) ¹

iii) La discontinuidad se produce porque en x = 5 donde la gráfica presenta un salto finito. Existen los límites laterales cuando x tiende a 5 pero son distintos.

En consecuencia, no existe el límite de y = f(x) cuando x ® 5.

Sin embargo existe la imagen de 5 y es 3, es decir, f(5) = 3.

iv) La gráfica presenta en este caso una discontinuidad en x = 5. Cuando x tiende a 5 por derecha la función decrece indefinidamente y cuando x tiende a 5 por izquierda la función crece indefinidamente. El salto es infinito.

Simbólicamente: y .

No existe el límite de y = f(x) cuando x ® 5. Además se observa que no está definida la función en de x = 5, es decir, 5 no pertenece al dominio de la función.

Ejemplo. Sea la función f : R ® R / x ® . Determine los valores de a y b para que resulte continua en x = 2 y en x = 5. Para dichos valores grafique la función.

Para que la función resulte continua en x = 2 debe verificarse que:

Þ 2² + a = 2 + 2b Þ a - 2b = -2

También en x = 5 debe verificarse que:

Þ 5 + 2b = 16 + 10a Þ - 10a + 2b = 11

Ambas igualdades se deben verificar simultáneamente, es decir: .

Resolviendo el sistema se obtiene a = -1 y b = .

Para dichos valores, la función resulta f : R ® R / x ®

Su gráfica es:

Teorema. Si f y g son funciones continuas en x = a entonces las siguientes funciones también resultan continuas en a:

la suma f + g,
la diferencia f - g,
el producto c.f, donde c es una constante,
el producto f.g,
el cociente siempre que g(a) ¹ 0.

Teorema. Toda función polinomial p_n(x) = es una función continua en todo su dominio, es decir en todo número real.

Teorema. Toda función racional fraccionaria o cociente de polinomios es continua, excepto en los puntos que anulan el denominador, es decir, si f(x) = entonces f es continua para todo valor de x, excepto en los que q_m(x) = 0. Por lo tanto toda función racional es continua en todo su dominio.

Ejemplo. La función p(x) = es continua para todos los números reales excepto el cero, es decir, en el conjunto R - {0} .

Ejemplo. Determine la continuidad de las siguientes funciones:

a) La función m(x) es continua para todo número real pues es una función polinomial.

b) La función t(x) es una función racional, por lo tanto, es continua en todo número real excepto en aquellos donde se anule el denominador. En este caso (x+3) se anula en x = - 3. Luego, t(x) es continua en R - { -3} .

c) La función g(x) es el producto de dos funciones continuas para todo número real, y = x e y = senx. Por lo tanto, la función g(x) es continua para todo número real.

Teorema. Si la función f es continua en x = a y la función g es continua en f(a), entonces la función compuesta gof es continua en a.

Ejemplo. Analice la continuidad de la función y = .

La expresión y = resulta de la composición de las funciones f(x) = 5^x y g(x) = 3x² - 1.

(fog)(x) = f[g(x)] = f(3x² - 1) =

Las funciones f(x) y g(x) son funciones continuas en todos los números reales.

Por lo tanto, y = es continua para todo número real.

Ejemplo. Analice la continuidad de la función y = ln(2x - 3).

La función y = ln(2x- 3) resulta de la composición de las funciones f(x) = lnx que es continua en todos los números reales positivos y g(x) = 2x - 3 que es continua en todos los números reales.

La composición (fog)(x) = f[g(x)] = f(2x - 3) = ln (2x - 3) resulta continua para todos los valores reales tales que 2x - 3 > 0, es continua en A = .

Sintetizando.

· Se dice que una función f es continua en x = a sí y solo si .

· ¿En qué puntos no es continua una función?

a) en los puntos cuyas abscisas no pertenecen al dominio.

b) en todos los puntos de abscisa x = a en los que ocurre alguna de estas situaciones:

i) no existe

ii) existe el límite de la función en x = a pero no coincide con el valor de la función en x = a.

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