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Probablemente se tiene una idea intuitiva de que el área de una figura geométrica es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada por dicha figura. El área de un polígono puede definirse como la suma de las áreas de los triángulos en que puede ser descompuesto y se puede demostrar que el área obtenida es independiente de cómo se descompuso el polígono en triángulos. Esta idea de trabajo es muy antigua y fue propuesta por primera vez por el sabio griego Antifón alrededor del año 430 a.C. y se conoce como el "método del agotamiento".

Un problema mucho más difícil es hallar el área de una figura curva. El método griego del agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y cincunscribir otros pológonos en torno a ella, aumentar el número de los lados de los polígonos y hallar el área buscada. Eudoxo consiguió de esta manera encontrar la fórmula para calcular el área de un círculo. Teniendo en cuenta el uso del método dado por Eudoxo, se lo conoce como método de exhaución de Eudoxo y el mismo fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver problemas de este tipo.

Hasta aquí tenemos una idea intuitiva de lo que es el área de una región y que, calcular áreas de regiones con lados rectos resulta sencillo. Sin embargo no es fácil hallar el área de una región limitada por lados que son curvos. También podemos observar, sin mayores inconvenientes que:

• el área de una región plana es un número (real) no negativo,
• regiones congruentes tienen áreas iguales,
• el área de la unión de dos regiones que se superponen sólo por un segmento es la suma de las áreas de las dos regiones y
• si una región está contenida en una segunda el área de la primera es menor o igual que el área de la segunda.

Para esto podemos analizar dos ejemplos:

• TRABAJAMOS EN CIENCIAS NATURALES. La fotosíntesis

• TRABAJAMOS EN GEOMETRÍA. Cálculo de un área encerrada por la gráfica de una función y los ejes coordenados

Una página interesante para visualizar el método de exhaución es la del Proyecto Descartes (España)http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_2/La_integral_definida_y_la_funcion_area/exhauc.html

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