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Supongamos que el marcador de la distancia recorrida del automóvil de Juan no funciona y desea estimar la distancia recorrida en 30 minutos. Para eso, observa el velocímetro y anota en una tabla las lecturas realizadas cada cinco minutos.

Para trabajar el tiempo y la velocidad en unidades que sean coherentes convertimos las diferentes lecturas de la velocidad en kilómetros por minuto.

Podemos suponer que, durante cada intervalo la velocidad no cambia demasiado. Estamos en condiciones estimar la distancia recorrida durante ese tiempo al suponer que la velocidad se mantiene constante.

Podríamos suponer que,   durante   el primer   intervalo   la velocidad se   mantiene  igual  a la inicial   esto es 1,2 . Esto nos permite asegurar que la distancia recorrida durante los primeros cinco minutos será

d₁= 1,2 . 5 min = 6 km.

De la misma manera podemos encontrar la distancia en cada intervalo y finalmente la distancia total recorrida

De la misma manera podemos hacer los cálculos utilizando la velocidad al final de cada período.

También podemos considerar otro valor de la velocidad en un tiempo intermedio entre el inicio y el final en cada uno de los intervalos, por ejemplo

El área del primer rectángulo "medida de la base por medida de la altura" (1,2 . 5 = 6) coincide con la distancia recorrida en los primeros cinco minutos, si tomamos la velocidad inicial como constante en todo el intervalo (según los primeros cálculos). Podemos interpretar el área de cada rectángulo como una distancia dado que la altura representa la velocidad y la base el tiempo. La suma de las áreas de todos los rectángulos es 35,75 y coincide con la primer estimación realizada de la distancia total recorrida.

De la misma manera podemos hacer el análisis tomando la velocidad final de cada intervalo o bien la velocidad en un tiempo intermedio.

Para una mejor estimación debemos considerar intervalos de tiempo cada vez más pequeños.

Obtuvimos tres estimaciones de la distancia buscada. Si quisiéramos una estimación más exacta podríamos que tomar las lecturas de la velocidad cada dos minutos, un minuto, treinta segundos, diez, cinco, tres, dos, uno o fracciones de segundo cada vez más pequeñas. Para una mejor estimación debemos considerar intervalos de tiempo cada vez más pequeños y la cantidad de sumandos en e1l cálculo de la distancia acumulada será cada vez mayor.

Podemos concluir que la distancia recorrida en cada intervalo resulta d_i = v_i . D t_i

La distancia total recorrida, es decir los resultados acumulados para razones de cambio variables (velocidad) es d_t = v₁ . D t₁ + v₂ . D t₂ + v₃ . D t₃ + ........... + v_n . D t_n donde D t es una número cada vez más pequeño y por lo tanto la cantidad n de intervalos tiende a infinito. Por esto resulta:

Distancia total recorrida = d_t = = donde v_i puede ser la velocidad al inicio, al final o en un tiempo intermedio en cada uno de los subintervalos considerados.

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