[Ir a Inicio] [Ir a Contenidos]

La gráfica representa la velocidad en durante un período de 10 minutos.

Obtenga la distancia total recorrida y grafique.

Respuesta: 360 km.

Una compañía está considerando un nuevo proceso de fabricación. Se sabe que la razón de ahorros del proceso está dada por s(t) = 1000 (t + 2) donde t es el número de años que se ha usado el proceso. Encuentre los ahorros totales durante el primer año y durante los primeros seis años.

Respuesta: los ahorros totales durante el primer año ascienden a $2500 y durante los primeros seis años a 30000.

En una ciudad del centro del país la función describe una aproximación de la temperatura en grados Fahrenheit t horas después de las 9. Halle la temperatura promedio durante un período de doce horas a partir de las 9.

Respuesta: aproximadamente 59ºF

Un carpintero compró una nueva máquina para colocar clavos. Estima que la razón de ahorros s(x) de la máquina está aproximada por la expresión s(x) = 3 + 2x donde x representa el número de años que la clavadora ha estado en uso. Si la máquina cuesta $ 88 ¿se pagaría por sí misma en seis años? En caso negativo ¿en cuántos años la máquina se pagará por sí misma?

Respuesta: no se pagará en seis años dado que sólo ahorra $ 54. Se pagará en ocho años.

Una compañía manufacturera está considerando un nuevo proceso par la fabricación de zapatos en una de sus plantas. La nueva máquina producirá una razón de ahorros anuales en dólares dada por s(x) = 150 - x² donde x es el número de años de operación de la máquina, en tanto que produce una razón de costos anuales en dólares de c(x) = x² + x.

a) ¿Durante cuántos años será rentable usar esta nueva máquina?.

b) ¿Cuáles son los ahorros netos totales durante el primer año de uso de la máquina?

c) ¿Cuáles son los ahorros netos totales durante todo el período en el que el uso de la máquina resulta rentable?

Respuestas: a) 8 años b) aproximadamente $ 148 c) aproximadamente $ 771

Luego de t años una mina está produciendo a razón de p(t) = toneladas por año. Al mismo tiempo el mineral producido se está consumiendo a razón de c(t) = 0,1 t + 2 toneladas por año.

a) ¿En cuántos años será igual la razón de consumos a la razón de producción?

b) ¿Cuál es la producción en exceso total antes de que el consumo y la producción sean iguales?

Respuestas: a) 5 años b) aproximadamente 16,5 toneladas

La razón de crecimiento de una población de microbios está dada por la ley m(x) = 30xe^2x donde x es el tiempo en días. ¿Cuál es la población total de microbios después de tres días?

Respuesta: aproximadamente 15 128 microbios.

Verifique que la velocidad promedio de un móvil en un período [t₁, t₂] es la misma que el promedio de las velocidades durante el viaje.

La función de costo marginal de una empresa es c' (x) = 30 + 0,05x.

a) Determine la función costo c(x) si los costos fijos de la empresa son de $2000 por mes.

b) ¿Cuánto costará producir 150 unidades en un mes?

c) Si los artículos se pueden vender a $ 55 cada uno ¿cuánto debe producirse para maximizar la utilidad?

Respuestas: a) c(x) = 0,025x² + 30x + 2000 b) $ 7062,50 c) 500 unidades

La función ingreso marginal de cierta empresa es i' (x) = 4 - 0,01x

a) Determine el ingreso obtenido por la venta de x unidades de su producto.

b) ¿Cuál es la función de demanda del producto de la empresa?

Respuestas: a) i(x) = 4x - 0,005x²  b) p = 4 - 0,05x

Durante el verano en cierta ciudad el consumo de agua en millones de litros por hora está dado por la siguiente función:  

f(t) =   donde t es el tiempo en horas durante el día (24 horas). Determine el consumo total entre las seis y las nueve de la mañana y el consumo total durante un día completo.

Respuesta: entre las seis y las nueve se consumen 10,5 millones de litros de agua y el consumo total durante un día completa es de 104 millones de litros de agua.

La densidad lineal de una varilla de ocho metros de largo es donde x se mide en metros desde uno de los extremos de la varilla. Halle la densidad promedio.

Respuesta:

Después de que una persona ha estado trabajando durante t horas con una máquina en particular rinde n unidades. La tasa de rendimiento (número de unidades por hora) está dada por n(t) = . ¿Cuántas unidades de rendimiento alcanzará la persona en sus primeras 50 horas?

Respuestas: una persona alcanzará 184 unidades

La función de ingreso marginal de una empresa está dada por i' (x) = 12,5 - 0,02x.

a) Determine el incremento en el ingreso total de la empresa cuando el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades.

b) Si el nivel de ventas primero decrece de 100 a 80 unidades y luego se incrementa a 150 unidades. Determine el incremento global en el ingreso total.

Respuestas: a) $ 950    b) $ 500

Desde 1970 la razón de consumo de petróleo en cierto país ha sido dada en millones de barriles por año por la siguiente función:

r(t) =            donde t es el tiempo en años desde 1970.

a) Calcule el consumo total entre 1970 y 1975.

b) Calcule el consumo total entre 1970 y 1988.

Respuestas: a) 2250 millones de barriles b) 7191 millones de barriles.

El volumen de agua de un tanque es V metros cúbicos cuando la profundidad del agua es de h metros.

Si la tasa de variación de V con respecto a h es p (4h²+12 h + 9) determine el volumen de agua en el tanque cuya profundidad es de 3 m.

Respuesta: 117p m³

Al comienzo de los años 70, la tasa anual mundial de consumo de petróleo era p(x) = 16,1 e ^0,07t miles de millones de barriles de petróleo al año, donde t es el número de años contados a partir de 1970.

a) determine la cantidad de petróleo consumido de 1972 a 1974.

b) represente gráficamente lo planteado en a).

c) a partir del advenimiento de precios terriblemente altos de petróleo, hacia el año 1974, la tasa de crecimiento exponencial del consumo mundial bajó de una constante de crecimiento del 7% a una constante de crecimiento del 4% anual. Un modelo relativamente bueno para describir la tasa anual de consumo de petróleo desde 1974 está dado por q(x) = 21,3 e ^{0,04(t - 4)} donde otra vez t es el número de años contados a partir de 1970. Determine el ahorro total de petróleo entre 1976 y 1980 al no haberse consumido petróleo a la tasa del primer modelo.

d) interprete gráficamente lo planteado en c).

Respuestas: a) 39,76 miles de millones de barriles de petróleo c) se ahorraron alrededor de 13 mil millones de barriles de petróleo.

Se lanza una piedra hacia arriba con una aceleración de - 32, y se sabe que la velocidad inicial es de 64 y la altura desde la que es lanzada es de 96 m.

a) Halle la expresión de la velocidad t segundos después.

b) Determine la expresión que describe el espacio recorrido t segundos después.

c) ¿Cuántos segundos tarda en alcanzar la altura máxima?, ¿cuál es dicha altura?

d) ¿En qué momento toca el suelo?

Respuestas: a) v(t) =-32t + 64    b) e(t)=-16t² +64t + 96    c) t=2seg. e(2)=160m    d) t=5,16 seg.

Una epidemia de gripe ataca una población. Sea p(t) el número de personas enfermas de gripe al tiempo t, donde t se mide en días a partir del inicio de la epidemia y p(0) = 100. Suponga que después de t días la gripe se está extendiendo a razón de 120t - 3t² personas por día.

a) Encuentre la expresión para p(t).

b) Indique cuántas personas afectadas habría 4 días después de haber comenzado la epidemia.

Respuestas: a) p(t) = 60t² - t³ + 100           b) 996 personas.

Se necesita una fuerza de 200 dinas para mantener comprimidos ocho centímetros menos de su longitud natural un resorte de diez centímetros. Encuentre el trabajo realizado al comprimir el resorte seis centímetros a partir de su longitud normal. Recuerde que la ley de Hooke se aplica tanto a la compresión como al estiramiento.

Respuesta: 800 ergios.

El consumo total de gas oil para el transporte en Estados Unidos desde 1970 hasta 1979 sigue un modelo de crecimiento según la ley t(t) = 0,000433t² + 0,0962t + 2,76 donde 0 £ t £ 9  y  f(t) se mide en miles de millones de barriles en t años desde el primero de enero del a 1970. Dado un importante aumento en los precios del crudo a fines de la década del 70 el modelo de crecimiento del consumo cambió y comenzó a comportarse según g(t) = -0,00831t² + 0,152t + 2,81 donde 9 £ t £ 16  y  g(t) medido también en miles de millones de barriles. Calcule la cantidad total de gas oil ahorrada entre 1979 y 1985 como resultado de este cambio en el ritmo de consumo.

Respuesta: aproximadamente 4,58 miles de millones de barriles de gas oil.

Un móvil se desplaza por un camino. Se sabe que su aceleración en el instante t viene dada por:

a(t) = t.(t - 100). Si en el instante inicial t = 0 el móvil se encuentra a una distancia de 50 km y parte con una velocidad de 30, ¿cuál es la expresión que describe la posición s(t) para 0 £ t £ 100?

Respuesta: s(t) =

Una pelota es lanzada hacia arriba desde una altura de 256 pies sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 96 pies por segundo. Por las leyes físicas se sabe que la velocidad al tiempo t es v(t) = 96 - 32t pies por segundo.

a) Encuentre s(t) es decir la función que expresa la altura de la pelota al tiempo t.

b) ¿Cuánto tiempo tardará la pelota en llegar al piso?

Respuestas: a) s(t) =-16t² + 96t + 256     b) t = 8 seg.

El precio de un artículo es $ 700 y su valor disminuye según la cantidad de años t posteriores a su compra. La expresión describe la razón de cambio del precio p de dicho artículo con respecto a t. Determine el valor del artículo 3 años después de su compra.

Respuesta: $ 325.

Durante los 10 primeros días de diciembre, una célula vegetal modificó su tamaño de manera tal que t días después del primero de diciembre, el volumen de la misma estuvo creciendo a razón de (12 – t)^–2 micras cúbicas por día. Si el 3 de diciembre el volumen de la célula era de 3 m m³, determine el volumen el día 8 del mismo mes.

Respuesta: 3,14 m m³.

El volumen de un globo crece a razón de cm³ por segundo. Si a los tres segundos el volumen es 3 cm³.

a) Determine la expresión que describe el volumen V en función del tiempo t.

b) Halle el volumen del globo a los 8 segundos.

Respuestas: a)          b) 34 cm³

La velocidad de un móvil viene dada por v(t) = t² + 4t + 2. Si se sabe que en el instante inicial el móvil no ha realizado ningún recorrido.

a) Defina la función que describe el espacio recorrido.

b) Halle cuál fue el espacio recorrido por el móvil entre t = 1 seg. y t = 3 seg.

Respuestas: a) b) 28,67 m.

Una partícula cuya velocidad es v = f(t) (medida en metros por segundo), se mueve en línea recta según se indica en el gráfico.

Halle el recorrido durante su desplazamiento en los primeros seis segundos.

Respuesta: 27 m.

La matrícula de una escuela se ha incrementado a razón de alumnos por año desde 1993. Si la matrícula en 1996 fue de 10 000 alumnos.

a) Determine la cantidad de alumnos en 1993 y en el 2001.

b) Calcule la matrícula esperada para el año 2008, suponiendo que se seguirá incrementando a la misma tasa.

Respuestas: a) 8000 alumnos en 1993, 12 000 en el 2001 b) 14 000 alumnos.

Una fábrica de cortadoras de césped ha incorporado una nueva línea de montaje.

Después de t semanas, la expresión describe la razón de producción de máquinas por semana.

a) Determine la cantidad de máquinas producidas durante la primera semana.

b) Encuentre la cantidad de máquinas que se pueden producir desde principios de la segunda semana hasta el final de la cuarta.

Respuestas: a) 272 máquinas b) 3155 máquinas

La función oferta para un artículo está dada por s(q) = . Se sabe que la oferta y la demanda están en equilibrio en q = 9. Encuentre el superávit de los productores.

Respuesta: $ 1999,54

La función de demanda para el aceite de oliva virgen es d(q) =. Encuentre el superávit de los consumidores si oferta y demanda están en equilibrio en q = 6.

Respuesta: $40,50

Un fabricante de un video juego analiza qué ocurre con el producto durante los tres primeros años de producción. Si transcurrieron x años desde que el video juego se introdujo en el mercado se puede definir, sabiendo que la misma se ajusta a los datos para los tres primeros años, la función que describe la razón de producción f(x) = 60 + 288x². Halle la producción total entre el primer y segundo año que el producto fue puesto en el mercado.

Respuesta: la producción total asciende a 732 artículos.

Un bidón de agua destilada de cinco litros tiene un orificio en el fondo y se observa que se vacía a razón de   (5 - 0,002t) cm³ por minuto. Encuentre la cantidad de agua que queda en el bidón transcurridas diez horas.

Respuesta: aún quedan en el bidón 2360 cm³.

Si la longitud de un resorte es de diez pulgadas y se requiere una fuerza de tres libras para estirarlo dos pulgadas, encuentre el trabajo realizado al estirar el resorte desde su longitud normal a una distancia de quince pulgadas.

Observación: De acuerdo a la ley de Hooke en física, la fuerza F(x) necesaria para conservar estirado (o comprimido) un resorte x unidades alargando (o contrayendo) su longitud normal, está dada por F(x) = kx, donde k es una constante positiva.

Respuesta: 18,75 pulgadas.

Una persona ha sufrido un accidente con su moto el día domingo y como consecuencia del mismo quedá con una herida en su bazo izquierdo. Esta herida se está curando de manera que y días después a partir del accidente ha disminuído a razón de centímetros cuadrados por día. Si el día lunes el área de la herida fue de 3 cm².

a) ¿cuál fue el área que ocupaba la herida en el momento del accidente?

b) ¿cuál será el tamaño de la herida al domingo siguiente si continúa mejorando según la misma tasa?

Respuestas: a) 5 cm²         b) 1,5 cm²

Una compañía está comenzando a fabricar sus productos mediante la introducción de un nuevo proceso. Se sabe que debido las dificultades en las etapas iniciales del proceso la producción crecerá lentamente. Se espera que la razón de producción sea p(x) = 1000 e^0,2x donde x es el número de años desde la introducción del producto ¿Podrá la compañía lograr una producción de 20000 unidades durante los primeros cuatro años?

Respuesta: la compañía no podrá lograr la producción.

La razón de infección de una enfermedad (personas por mes) es i(t) = , donde t es el tiempo en meses desde la aparición de la enfermedad. Encuentre el número total de personas infectadas en los primeros cuatro meses de enfermedad.

Respuesta: aproximadamente 142 personas infectadas.

Al pasar un país por una crisis económica reciente el porcentaje de desempleo creció a razón de donde t es el tiempo en meses. Dado que al comienzo del estudio había 4% de desempleados encuentre el porcentaje que está desempleado 20 meses después.

Respuesta: 5,52%.

[Ir a Inicio] [Ir a Contenidos]