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1) Enuncie una definición (utilizando rectángulos) del área de una región plana limitada por la gráfica de una función f, el eje x y las rectas x = a y x = b si f es continua en [a, b] y f (x) ³ 0 para todo x del intervalo.

2) Explique qué es una suma de Riemann. Ejemplifique.

3) ¿Cuál es la relación entre integral definida y suma de Riemann?. Ejemplifique.

4) Defina .

5) ¿Qué es una integral definida? ¿cómo se relaciona con el área de una región plana?

6) Ejemplifique gráficamente una función cuya:

a) integral definida sea positiva.

b) integral definida sea negativa.

c) integral definida sea nula.

7) Si la función f es continua en [a, b] y si m y M son el mínimo absoluto y el máximo absoluto de la función en [a, b] respectivamente ¿qué desigualdad satisface la integral definida de f en [a, b]?

8) Enuncie el teorema del valor medio para integrales. Ejemplifique.

9) Indique la interpretación geométrica del teorema del valor medio para integrales.

10) Si una función es integrable en [a, b] ¿cuál es el valor promedio de f en [a, b]? Ejemplifique.

11) Enuncie la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo.

12) Enuncie la segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo.

13) ¿Considera importante el Teorema Fundamental del Cálculo? ¿por qué?

14) ¿Cómo calcula utilizando integrales el área de una región plana limitada por la gráfica de y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b si f es continua en [a, b] y:

a) f(x) ³ 0 para todo x del intervalo.

b) f(x) £ 0 para todo x del intervalo.

c) f(x) ³ 0 si a £ x £ c y f(x) < 0 si c < x £ b.

15) Explique la diferencia entre una integral definida y una integral indefinida.

16) ¿Cómo  calcularía  el  área de la región plana  limitada por las gráficas  de  las  funciones continuas y = f(x) e y = g(x) que se cortan en los puntos x = a   y   x = b si:

a) f(x) ³ g(x) para todo x del intervalo.

b) f(x) £ g(x) para todo x del intervalo.

c) f(x) ³ g(x) si a £ x £ c y f(x) £ g(x) si c £ x £ b.

17) Escriba una expresión para una suma de Riemann de una función f. Explique el significado de la notación.

18) Si la función y = f(x) es positiva ¿cuál es la interpretación geométrica de una suma de Riemann? Ejemplifique gráficamente.

19) Si una función continua en [a, b] toma valores positivos y negativos en dicho intervalo ¿cuál es la interpretación geométrica de la integral de Riemann? Ejemplifique gráficamente.

20) Escriba la definición de la integral definida de una función continua desde a hasta b.

21) ¿Qué representa gráficamente si f (x) ³ 0 para todo x del intervalo [a, b].

22) De la interpretación geométrica de si f(x) es una función continua y toma valores tanto positivos como negativos en [a, b].

23) a) Si r(t) es la velocidad de flujo con que el agua cae a un tanque con respecto al tiempo ¿qué significa ?

b) Si g(t) representa la razón de consumo de gas por año desde 1995. Indique qué representa .

24) Trace la gráfica de una función continua en un intervalo [a, b] que tenga la propiedad que, considerando n = 3 subdivisiones, < suma izquierda < suma derecha.

25) Defina cambio total en f(x).

26) Enumere los cuatro problemas científicos y matemáticos que pudieron ser estudiados con el surgimiento el cálculo.

27) a) Destaque qué personajes fueron importantes para el cálculo.

b) Enuncie los principales logros de cada uno de ellos.

28) Enuncie las propiedades más importantes de la integral definida. Verifique cada una de ellas a través de un ejemplo.

29) ¿Qué ocurre con si la función y = f(x) es par? ¿y si f(x) es impar?

30) Enuncie la regla de sustitución para la integración. Ejemplifique.

31) Enuncie y demuestre la regla de integración por partes. Ejemplifique.

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