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Desigualdades

Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a £ b (a < b o a = b) y a ³ b (a > b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.

En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar dos cantidades y establecer una relación entre ellas. Las desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la división y la multiplicación.

Ejemplos.

       · Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.

       · Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1

       · Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30

       · Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30


En los diferentes ejemplos se observa que:

       · al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene

       · al restar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene

       · la multiplicación por un número positivo mantiene el sentido de la desigualdad,

       · la multiplicación por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.


Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades. Sean a, b y c números reales cualesquiera:

       · Si a < b entonces a + c < b + c

       · Si a < b y c > 0 entonces a.c < b.c

       · Si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c

Cuando se verifica que a < b y b < c, decimos que b está comprendido entre a y c. En símbolos a < b < c.

Todas las definiciones y propiedades son también válidas para las desigualdades >, £ y ³ .


Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen uno o más valores desconocidos. Resolverla es encontrar el conjunto de todos los números reales para los cuales es verdadera.

Para resolver una inecuación se utilizan las propiedades de las desigualdades y de los números reales que conducen a una desigualdad equivalente. Esto significa que la nueva desigualdad tiene el mismo conjunto de soluciones que la dada.

Todos los números que satisfacen la desigualdad constituyen el conjunto solución.


Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad 2x + 4 < 5.

Para resolver la inecuación se debe transformarla paso a paso, aplicando propiedades hasta obtener el conjunto solución.

       · se suma - 4 a ambos miembros:   2x + 4 + (- 4) < 5 + (- 4)

                                                                                         2x < 1

       · se multiplican ambos  miembros  por  {short description of image}:          x < {short description of image}

La solución es el conjunto de todos los valores reales de x menores que {short description of image}. Por lo tanto, el conjunto solución es S = {short description of image}. Gráficamente:


Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad - 5x + 8 ³ 3.

La solución se obtiene de la siguiente manera:

       · se suma - 8 a ambos miembros:     - 5x + 8 + (- 8) ³ 3 + (- 8)

                                                                                           - 5x ³ - 5

      · se multiplican ambos miembros por . Como el número es negativo se invierte el sentido de la desigualdad: {short description of image}.(- 5x) £ {short description of image}.(- 5)      Þ      x £ 1

Gráficamente:                                      

El conjunto solución es  S = {x / x £ 1}

Nota. Si la representación gráfica del conjunto solución es:

                                                    x ³ a                                                                      x £ a

esto indica que el extremo a está incluido en el mismo.

Si la representación gráfica del conjunto solución es:

                                                    x > a                                                                      x < a

esto indica que el extremo a no está incluido en el mismo.

Para representar el conjunto de soluciones se utilizan los intervalos. Se analizan a continuación qué tipo de intervalos pueden definirse sobre la recta real.

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