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El límite de una función es uno de los conceptos más importantes del cálculo y es imprescindible para dar solución a problemas tales como:

• calcular la razón de cambio instantánea entre dos magnitudes.

• hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado de la misma.

• determinar el área limitada por una curva.

El concepto de límite se presenta primero de manera intuitiva y luego formalmente.

Noción intuitiva de límite

Ejemplo. Dada la función f : R ® R / f(x) = x² - 3x, ¿cómo se comportan los valores de la función en las proximidades de x = -1? ¿qué sucede con f(x) cuando x tiende a –1?

Para responder a estas preguntas, se puede analizar qué valores toma la función en valores próximos a -1 por derecha y por izquierda. Para ello, es conveniente la confección de una tabla donde se calculan las imágenes de los valores de x considerados:

Puede observarse que cuando x se aproxima a -1 por valores menores que él, los valores de la función se aproximan a 4. De la misma manera, cuando se eligen valores de x que se aproximan a -1 por valores mayores que él, la función se aproxima a 4. Los valores de la función están próximos a 4 para valores de x suficientemente cercanos a -1.

No interesa el valor de la función cuando x es igual a –1.

Este comportamiento de la función puede observarse gráficamente:

Se expresa de la siguiente manera: "el límite de la función (x² - 3x) es 4 cuando x tiende a -1".

Simbólicamente: .

¿No es posible calcular el valor de la función directamente en x = -1 y evitar la construcción de la tabla?

En este ejemplo se puede calcular la imagen de la función en x = -1.

f(-1) = (-1)² - 3.(-1) = 4, valor que coincide con el límite, pero esto no sucede para todas las funciones.

Ejemplo. Sea la función f(x) = cuyo dominio es D = {x / x Î R Ù x ¹ 1}. ¿A qué valor se acerca f(x) cuando x se aproxima a 1?

Como x = 1 no pertenece al dominio de la función f(1) no está definida. Por este motivo, es necesario averiguar cuál es el valor al que se aproximan las ordenadas de la función para aquellos valores de las abscisas próximos a 1. Con este objetivo, se construye una tabla de valores de f en la que x se acerca a 1 por valores menores que él, es decir, mediante números reales que están a su izquierda y otra tabla en la que x se acerca a 1 por valores mayores, es decir, que están a su derecha.

 x < 1                                                 x > 1

Se observa que cuando x se acerca a x = 1 por derecha o izquierda, los valores de la función se aproximan a seis (tienden a 6).

Esto se expresa de la siguiente manera:

= 6 y se lee: "límite de la función f(x) cuando x tiende a 1 es igual a 6".

La función no está definida en x = 1, pero sin embargo, cuando x toma valores cada vez más próximos a uno, tanto por izquierda como por derecha, el valor al que tiende la función es seis.

Entonces:

• El número al cual tiende f(x) cuando x se aproxima a 1 por la izquierda y simbólicamente se escribe: = 6, se llama límite lateral por izquierda.

• El número al cual tiende f(x) cuando x se aproxima a 1 por la derecha y simbólicamente se escribe: = 6, se llama límite lateral por derecha.

• Como ambos límites laterales son iguales se expresa: = 6

Notaciones

• límite de una función
• límite lateral por izquierda
• límite lateral por derecha

Nota. Una función puede tener límite en un punto y no estar definida en ese punto.

Noción intuitiva de límite. Se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende al número real "a" es igual al número real L si al aproximarse x a "a" por la izquierda y por la derecha, siendo x ¹ a, resulta que f(x) se aproxima o incluso es igual a L. Se escribe:.

Ejemplo. Sea la función f : R ® R definida por f(x) = .  Grafíquela y determine los límites cuando   x ® 0⁺ y x ® 0 ^-. Extraiga conclusiones.

La gráfica es:

Ejemplo. Sea la función g : R - {2} ® R / x ® .

Grafique la función, halle los límites cuando  x ® 2⁺ , x ® 2 ^- y extraiga conclusiones.

La gráfica es:

Cuando x se aproxima a 2 por valores menores, es decir por la izquierda, lo que corresponde al primer tramo de la función, las imágenes tienden a 1.

Entonces:

Cuando x se aproxima a 2 por valores mayores, es decir por la derecha, lo que corresponde al segundo tramo de la función, las imágenes también tienden a 1.

Entonces:

Como los límites laterales existen y son iguales    

Ejemplo. Sea la función h : R ® R / h(x) = . Grafique la función y determine la imagen del 1 y los límites cuando x ® 1⁺  y  x ® 1 ^- .

Gráficamente:

La imagen del 1 es 3, es decir: h(1) = 3. Observando la gráfica se calculan los límites laterales: y . Como los límites laterales existen y son iguales, se concluye que: .

Ejemplo. Sea la función m : R ® R / m(x) = .    Grafique la función y halle la imagen del 3 y los límites cuando x ® 3⁺  y  x ® 3 ^- .

Gráficamente:

La imagen de 3 es: m(3) = 2 + 3 = 5. Observando la gráfica, cuando x se aproxima a 3 por izquierda, las imágenes tienden a 5. Lo mismo ocurre cuando x se acerca a 3 por derecha. Entonces, y Como los límites laterales existen y son iguales, se concluye que .

Resumen. El límite de una función en un punto puede o no existir. Si existe, su valor es independiente de lo que ocurre con la función en el punto. En las siguientes tablas se analizan distintas situaciones: