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Propiedades y Álgebra de límites

Propiedades inmediatas

a) Si f es la función identidad f(x) = x, entonces para cualquier valor a se verifica que {short description of image}.

b) El límite de la función constante f(x) = c es la misma constante, cualquiera sea el valor al que tiende.

c) El límite cuando x ® a de una función polinomial p(x), es igual al valor numérico del polinomio para x = a. Es decir, {short description of image}

   

Ejemplos. Calcule los siguientes límites

a) {short description of image}                     b) {short description of image}                   c) {short description of image}

a) {short description of image}= 5 de acuerdo a la primera propiedad.

b) {short description of image}= 7 teniendo en cuenta la segunda propiedad.

c) Este límite se calcula de acuerdo a la tercera propiedad:

{short description of image} = 23 - 2.2 + 22 - 11 = 8 - 4 + 4 - 11 = - 3

    

Ejemplos. Sea la función f : R ® R / x ® {short description of image}. Calcule los siguientes límites y compruebe gráficamente

a) {short description of image}                     b) {short description of image}                c) {short description of image}

d) {short description of image}                    e) {short description of image}                f)  {short description of image}

   

Tratándose de una función definida por tramos, para calcular cada uno de los límites, debe tenerse en cuenta el tramo en el que está incluido el valor en el cual se calcula el límite.

a) Cuando x se aproxima a 1 por izquierda, debe tenerse en cuenta el primer tramo, es decir:

b) Cuando x se aproxima a 1 por derecha, debe tenerse en cuenta el segundo tramo, es decir:

c) Los límites laterales obtenidos en (a) y (b) son iguales, entonces el límite de f(x) para x tendiendo a 1 existe y es -1. Por lo tanto: {short description of image}

d) Cuando x se aproxima a 3 por izquierda, debe tenerse en cuenta el segundo tramo, es decir:

e) Cuando x se aproxima a 3 por derecha, se tiene en cuenta el tercer tramo, es decir:{short description of image}

f) Como los límites laterales existen pero son distintos no existe el límite de f(x) para x tendiendo a 3.

Los límites calculados analíticamente se pueden comprobar observando la gráfica de la función:

Álgebra de límites

Si {short description of image} y {short description of image} donde L1 Î R, L2 Î R entonces

1) {short description of image}

2) {short description of image}

3) {short description of image}, c Î R.

4) {short description of image}

5) {short description of image}, si L2 ¹ 0.

6) {short description of image} no existe si L1 ¹ 0 y L2 = 0.

7) {short description of image} es un número real.

     

Ejemplos. Resuelva los siguientes límites

a) {short description of image}                 b) {short description of image}           c) {short description of image}

d) {short description of image}                       e) {short description of image}       f) {short description of image}

    

a) {short description of image} Þ {short description of image}

b) {short description of image}

Por lo tanto: {short description of image}

 c) {short description of image}

Por lo tanto: {short description of image}

d) {short description of image} Þ {short description of image}

 e) {short description of image}

Por lo tanto: {short description of image}. Es posible resolver este límite pues {short description of image}.

 f) {short description of image} Þ {short description of image}

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