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Teorema de unicidad del límite
Enunciado. Si una función y = f(x) tiene límite, el mismo es único.
Hipótesis.
f(x)
= L y
f(x)
=
L*
Tesis. L = L*
Demostración. Por definición de límite:
f(x)
= L si dado
e > 0, $
d 1 > 0
/ si 0 <
½ x
- a½
< d
1 Þ
(1)
f(x)
= L*
si dado e > 0, $
d 2
> 0 / si 0 <
½ x -
a ½
<
d 2
Þ
(2)
Si a la expresión ½ L - L *½ se le suma y resta f(x), se obtiene:
½ L - L* ½ = ½ L- L* + f(x) - f(x)½ = ½ (f(x) - L*) - (f(x) - L)½
Recordando la propiedad de valor absoluto: ½ a - b½ £ ½ a½ + ½ b½ resulta:
½ (f(x) - L*) - (f(x) - L)½ £ ½ f(x) - L½ + ½ f(x) - L* ½
Por (1) y (2) se obtiene:
½ L
- L*½
" x : 0 <
½ x -
a½
<
d
El único número no negativo que es menor a otro positivo por pequeño que sea es el cero.
½ L - L*½ = 0 Þ L = L*
Se ha demostrado que, si existe, el límite de una función es único.
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