entonces f es continua en x =
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EJERCICIOS DE REPASO
1) Determine si son verdaderos o falsos los siguientes enunciados. Justifique.
a)
Si
entonces f es continua en x =
x0
b) Si f es continua en el intervalo (a, b) entonces f es continua en [a, b].
c) Si f es continua en [a, b], f(a) > 0 y f(b) < 0, entonces f(x) = 0 tiene al menos una solución en [a, b].
d)
Si g es continua en [a, b], entonces 
es continua en [a, b].
2) Analice la continuidad de las siguientes funciones. Si resultan discontinuas, establezca el tipo de discontinuidad y, si es posible, redefínalas para que resulten continuas.
a)
 |
b)  |
c)
 |
d) 
|
e)
|
f)  |
g)
 |
h) |
i)
|
j)  |
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus gráficas.
a)
 |
b)  |
c)
|
d)  |
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones:
a)
|
b) |
c)
|
d) |
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas.
a)
|
b) |
c) |
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus gráficas. En caso de que existan puntos de discontinuidad, indíquelos.
a)
|
b) |
7) Esboce la gráfica de la función y = f(x), tal que:
a) Sea continua en todo el intervalo [a, b].
b) Sea continua en todo el intervalo [a, b] excepto en x = x0.
c)
Si 
.
d)
.
e)
Sea continua en (-¥,
2] y ( 2, +¥ );
.
f)
Sea continua en (-¥,
0) y [0, +¥ );
.
8) Defina gráficamente una función de dominio R que sea continua en todo punto a excepción de x = -2 donde presenta una discontinuidad evitable y de x = 3 donde presenta una discontinuidad de salto.
9) Defina gráficamente una función de dominio R que presente una discontinuidad evitable en x = 0, discontinuidad de salto en x = 5 y una discontinuidad infinita en x = -1.
10) Defina gráficamente una función en el intervalo [-2, 1], continua en todo punto excepto en x = 0, positiva en x = 1 y negativa en x = -2 y que no tenga raíces.
11) Supongamos que f(x) es continua en el intervalo [-1, 1] y que f(-1) = 2, f(0) = -1 y f(1) = 3. ¿Cuál es el mínimo número de raíces que f(x) puede tener en ese intervalo? Interprete gráficamente.
12) Sea g(x) una función
continua en el intervalo [-2, 3] y
tal que g(-2) =
, g(-1)
= -1, g(0)
= 2, g(1)
= 2, g(2)=
-2 y g(3) =
4. ¿Cuál es el menor número de raíces que g(x)
admite en dicho intervalo? Interprete gráficamente.
RESPUESTAS
1)a) Falso. Si los límites laterales en x = x0 son iguales entre sí pueden o no coincidir con la imagen en dicho punto.
b) Falso. Una función
puede ser continua en (a, b) pero 
o 
,
es decir, no sería continua en
[a, b].
c) Verdadero.
d) Falso. Si g es continua
en [a, b], 
es continua sólo si g(x) ¹ 0
" x Î
[a, b].
2)a)
Discontinuidad evitable en x =
-3. m(x)
= 
|
|
| b) Discontinuidad de salto en x = 0. | c) Discontinuidad infinita en x = 0. |
| d) Discontinuidad de salto en x = 1. | e) Continua en todo punto. |
| f) Discontinuidad infinita en x = 0. | g)
Discontinuidad de salto en u =
1. |
| h) Continua en todo punto. | i) Discontinuidad de salto en x = 2. |
j)
Discontinuidad infinita en x =
-3. y Discontinuidad evitable
en x =
3. m(x) =
|
|
|
3)a) Discontinuidad de salto en x = 0. |
b) Continua en todo punto.
|
|
c) Continua en todo punto.
|
d) Discontinuidad de salto en x = 2.
|
| 4)a) k = 5 | b) k = 5 | c) k = 3 | d)
k =
 |
|
| 5)a) a = -1, b = 1 | b) a= - 3, b = 4 | c) a =
 , b
= |
||
6)a) Discontinuidad de salto en x = -3. Discontinuidad evitable en x = 0.
b) Discontinuidad infinita en x = -2. Discontinuidad de salto en x = 1. Discontinuidad evitable en x = 3.
11) El mínimo número de raíces es 2.
12) El mínimo número de raíces es 4.
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