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EJERCICIOS

1) Utilice el teorema de Bolzano para demostrar que f(x) = x³ + x² - 2x tiene al menos una raíz real en el intervalo .

2) Encuentre dos intervalos distintos en los cuales la función f(x) = x⁴ - 10x² + 9 tenga, al menos, una raíz. Justifique utilizando el teorema de Bolzano.

3) ¿Es posible aplicar el teorema del valor intermedio para la función g(x) = en el intervalo [0, 4]?Justifique.

4)a) ¿Es posible aplicar el teorema del valor intermedio para la función m(x) = en su dominio de definición? Justifique.

   b) Indique, al menos dos intervalos, donde se pueda aplicar el teorema.

RESPUESTAS

1) La función es continua en todo punto, además y , por lo tanto por el teorema de Bolzano la función tiene al menos una raíz real en el intervalo .

2) Por  ejemplo  el  intervalo  (-2, 0)  ya  que  f(-2) = -15   y   f(0) = 9.  Otro  intervalo  puede  ser  (2, 4)  ya que f(2) = -15 y f(4) = 105. Además, f(x) es continua en todo su dominio.

3) En el intervalo [0, 4] es posible aplicar el teorema del valor intermedio pues la función en dicho intervalo es continua y g(0) ¹ g(4) ya que g(0) = y g(4) = .

4)a) No es posible aplicar el teorema del valor intermedio pues la función no es continua en x = 2 que pertenece al dominio.

   b) Intervalos  donde  es posible  aplicar el  teorema  del  valor  intermedio:  en [-1, 1]  la  función es  continua y m(-1) ¹ m(1) pues m(-1) = -3 y m(1) = 1;  en [3, 4]  la función  es  continua  y  m(3) ¹ m(4)  pues  m(3) = 7  y  m(4) = 8.

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