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Situación 5. Cálculo de áreas subdividiéndola en sectores. |
Ver Ejemplo
Queremos calcular el área comprendida entre f(x) y g(x).
Hallamos los puntos de intersección de las dos funciones f y g. Esos puntos son a, b, c y nos determinan una subdivisión del intervalo total en dos subintervalos [a, b] y [b, c]. Si obtenemos la integral definida sobre todo el intervalo de la diferencia de las funciones f y g resulta:
I es una integral definida pero no
representa un área pues
pero
.
Pero obtendremos el área si hacemos:
es decir:
Es importante destacar que, en todos los casos, para calcular el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las rectas x = a y x = b se resuelve la ![]() teniendo en cuenta que f y g son continuas en [a, b] y que además g(x) £ f(x) para todo x del intervalo de trabajo. |
Ejemplo: encuentre el área comprendida entre la gráfica de la función f(x) = x3 + x2 - 2x con el eje de abscisas. Graficamos la curva para obtener gráficamente el área:
Para hallar las intersecciones con el eje de abscisas calculamos las raíces, planteando f(x) = 0, o sea;
x3 + x2 - 2x = 0 Þ x.(x2 + x - 2) = 0 Þ x1 = 0 , x2 = - 2 , x3 = 1
El área que está sobre el
eje de abscisas se determina resolviendo
y el área debajo del eje de abscisas mediante
.
Resolviendo las integrales planteadas:
=
=
=
=
=
=
=
El área buscada resulta la suma
de las dos áreas anteriores y es
» 3,08.
Generalizando la situación anterior:
El área sombreada surge de la suma de dos áreas A1 y A2:
· f(x)
> 0 en el intervalo [a, b] resulta: A1
=
· f(x)
< 0 en el intervalo [b, c] resulta: A2
=
=
Área =
+
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