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LA INTEGRAL DEFINIDA |
Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.
[f(x0)
+ f(x1)
+ f(x2)
+
+ f(xn1)]
D x =
(se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)
[f(x1)
+ f(x2)
+ f(x3)
+
+ f(xn)]
D x =
(se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo)
[f(t1)
+ f(t2)
+ f(t3)
+
+ f(tn)]
D x =
(se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo)
Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.
Definición 1: Si f es
una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral
definida de f de a a b, que se indica
es el número:
=
[f(x0)
+ f(x1)
+ f(x2)
+
+ f(xn1)]
D x o bien
=
donde x0
= a, xn
= b y D x =
.
(la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)
Definición 2: Si f es
una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral
definida de f de a a b, que se indica
es el número:
=
[f(x1)
+ f(x2)
+ f(x3)
+
+ f(xn)]
D x
=
donde x0
=
a, xn
=
b y D x =
.
(la función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)
Definición 3: Si f es
una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral
definida de f de a a b, que se indica
es el número:
=
[f(t1)
+ f(t2)
+ f(t3)
+
+ f(tn)]
D x
=
donde x0
=
a, xn
=
b y D x =
.
(la función se evalúa en cualquier punto ti de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)
El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración .
Notación y terminología:
Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral.
La continuidad asegura que los límites
en las tres definiciones existen y dan el mismo valor por eso podemos
asegurar que el valor de
es el mismo independientemente de cómo elijamos los valores de x
para evaluar la función (extremo derecho, extremo izquierdo o
cualquier punto en cada subintervalo). Enunciamos entonces una definición
más general.
Definición de integral
definida: Sea f una función continua definida para a
£ x £ b.
Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho
D x =
. Sean x0
=
a y xn
=
b y además x0,
x1,
...., xn
los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto ti
en estos subintervalos de modo tal que ti
se encuentra en el i-ésimo subintervalo [xi-1,
xi]
con i =
1, .., n.
Entonces
la integral
definida de f de a a b es el número
=
.
La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.
Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.
Observación: La suma
que
aparece en la definición de integral definida se llama suma de
Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su
definición incluía además subintervalos de distinta
longitud.
Definición de las sumas de
Riemann: Sea f una función definida
en el intervalo cerrado [a, b] y sea una división (partición)
arbitraria de dicho intervalo a =
x0
£ x1
£ x2
£ x3
£ ......... £
xn-1
£ xn
=
b donde D xi
indica la amplitud o longitud
del i-ésimo subintervalo. Si ti
es cualquier punto del i-ésimo
subintervalo la suma ,
xi-1
£
ti
£ xi
se llama suma de Riemann
de f asociada a la partición .
Si bien la integral definida había sido definida y usada con mucha anterioridad a la época de Riemann él generalizó el concepto para poder incluir una clase de funciones más amplia. En la definición de una suma de Riemann, la única restricción sobre la función f es que esté definida en el intervalo [a, b]. (antes suponíamos que f era no negativa debido a que estábamos tratando con el área bajo una curva).
Una página interesante para ampliar sobre las sumas de Riemann y visualizar animaciones resulta http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/
Ejemplo: Halle
Como f(x) = x3 es continua en el intervalo [-2, 1] sabemos que es integrable.
Dividimos el intervalo en n
subintervalos de igual longitud
y para el cálculo de la integral consideramos el extremo derecho
de cada subintervalo ti
=
.
=
=
=
Para el desarrollo de la sumatoria tenemos en cuenta las propiedades siguientes:
=
=
=
=
=
=
Observación: Esta integral definida es negativa, no representa el área graficada. Las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o nulas.
Surgimiento del símbolo
Leibniz creó el símbolo
en la última
parte del siglo XVII. La
es
una S alargada de summa (palabra latina para suma). En sus primeros
escritos usó la notación "omn." (abreviatura de la
palabra en latín "omnis") para denotar la integración.
Después, el 29 de octubre de 1675, escribió, "será
conveniente escribir
en
vez de omn., así como
en vez de omn.l ...". Dos o tres semanas después mejoró
aún más la notación y escribió
en vez
de
solamente. Esta notación es tan útil y significativa que su
desarrollo por Leibniz debe considerarse como una piedra angular en la
historia de la matemática y la ciencia.
La notación de la integral
definida ayuda a tener en cuenta el significado de la misma. El símbolo
hace
referencia al hecho de que una integral es un límite de una suma de
términos de la forma "f(x) por una pequeña diferencia
de x". La expresión dx no se considera por separado sino que
forma parte de la notación que significa "la integral de una
determinada función con
respecto a x". Esto asegura que dx no tiene significado por si mismo
sino que forma parte de la expresión completa
. De
todos modos, desde un punto de vista totalmente informal e intuitivo
algunos consideran que la expresión dx indica "una porción
infinitesimalmente pequeña de x" que se multiplica por un
valor de la función. Muchas veces esta interpretación ayuda
a entender el significado de la integral definida. Por ejemplo, si v(t)
(positiva) es la velocidad de un objeto en el instante t entonces v(t) dt
se podría interpretar, según la consideración hecha,
como velocidad . tiempo y esto sabemos que da por resultado la distancia
recorrida por el objeto durante un instante, una porción de tiempo
muy pequeña dt. La integral
se puede considerar como la suma de todas esas distancias pequeñas
que como ya analizamos da como resultado el cambio neto en la posición
del objeto o la distancia total recorrida desde t =
a hasta t =
b.
Esta notación permite además
determinar qué unidades se deben usar para su valor. Como sabemos
los términos que se suman son productos de la forma "f(x) por
un valor muy pequeño de x". De esta manera la unidad de medida
de es
el producto de las unidades de f(x) por las unidades de x. Por ejemplo:
* si v(t) representa
la velocidad medida en
y t es el tiempo medido en horas, entonces la
tiene por unidades
.
h = km.
La unidad obtenida es kilómetros y es lo que corresponde porque es
valor de la integral representa un cambio de posición.
* si se
grafica y =
f(x) con las mismas unidades de medida de longitud a lo largo de los ejes
coordenados, por ejemplo metros, entonces f(x) y x se miden en metros y
tiene por unidad m . m = m2. Esta unidad es la esperada dado que, en este caso la integral representa un área.
Es importante tener en cuenta el teorema enunciado a continuación.
Teorema:
Aprendizaje
por descubrimiento Analice el problema planteado y reflexione... |
¿No sería conveniente encontrar una forma más sencilla para evaluar las integrales definidas? |
Sería interesante que en estos momentos analice algunas propiedades y teoremas sobre la integral definida |
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