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Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.

[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + ……………………… + f(x_n–1)] D x =

(se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)

[f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + ……………………… + f(x_n)] D x =

(se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo)

[f(t₁) + f(t₂) + f(t₃) + ……………………… + f(t_n)] D x =

(se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo)

Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.

Definición 1: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:

= [f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + ……………………… + f(x_n–1)] D x o bien

= donde x₀ = a, x_n = b y D x = .

(la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [x_i-1, x_i] con i = 1, .., n)

Definición 2: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:

=[f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + ……………………… + f(x_n)] D x

= donde x₀ = a, x_n = b y D x = .

(la función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [x_i-1, x_i] con i = 1, .., n)

Definición 3: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:

= [f(t₁) + f(t₂) + f(t₃) + ……………………… + f(t_n)] D x

= donde x₀ = a, x_n = b y D x = .

(la función se evalúa en cualquier punto t_i de cada subintervalo [x_i-1, x_i] con i = 1, .., n)

El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración .

Notación y terminología:

Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral.

La continuidad asegura que los límites en las tres definiciones existen y dan el mismo valor por eso podemos asegurar que el valor de es el mismo independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función (extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo). Enunciamos entonces una definición más general.

Definición de integral definida: Sea f una función continua definida para a £ x £ b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho D x = . Sean x₀ = a y x_n = b y además x₀, x₁, ...., x_n los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto t_i en estos subintervalos de modo tal que t_i se encuentra en el i-ésimo subintervalo [x_i-1, x_i] con i = 1, .., n.

Entonces la integral definida de f de a a b es el número =.

La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.

Observación: La suma que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía además subintervalos de distinta longitud.

Definición de las sumas de Riemann: Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea una división (partición) arbitraria de dicho intervalo a = x₀ £ x₁ £ x₂ £ x₃ £ ......... £ x_n-1 £ x_n = b donde D x_i indica la amplitud o longitud del i-ésimo subintervalo. Si t_i es cualquier punto del i-ésimo subintervalo la suma , x_i-1 £ t_i £ x_i se llama suma de Riemann de f asociada a la partición .

Si bien la integral definida había sido definida y usada con mucha anterioridad a la época de Riemann él generalizó el concepto para poder incluir una clase de funciones más amplia. En la definición de una suma de Riemann, la única restricción sobre la función f es que esté definida en el intervalo [a, b]. (antes suponíamos que f era no negativa debido a que estábamos tratando con el área bajo una curva).

Una página interesante para ampliar sobre las sumas de Riemann y visualizar animaciones resulta http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/

Ejemplo: Halle

Como f(x) = x³ es continua en el intervalo [-2, 1] sabemos que es integrable.

Dividimos el intervalo en n subintervalos de igual longitud y para el cálculo de la integral consideramos el extremo   derecho   de   cada   subintervalo   t_i = .

= = =

Para el desarrollo de la sumatoria tenemos en cuenta las propiedades siguientes:

=

=

= = =

=

Observación: Esta integral definida es negativa, no representa el área graficada. Las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o nulas.

Surgimiento del símbolo

Leibniz creó el símbolo en la última parte del siglo XVII. La es una S alargada de summa (palabra latina para suma). En sus primeros escritos usó la notación "omn." (abreviatura de la palabra en latín "omnis") para denotar la integración. Después, el 29 de octubre de 1675, escribió, "será conveniente escribir en vez de omn., así como en vez de omn.l ...". Dos o tres semanas después mejoró aún más la notación y escribió en vez de solamente. Esta notación es tan útil y significativa que su desarrollo por Leibniz debe considerarse como una piedra angular en la historia de la matemática y la ciencia.

La notación de la integral definida ayuda a tener en cuenta el significado de la misma. El símbolo hace referencia al hecho de que una integral es un límite de una suma de términos de la forma "f(x) por una pequeña diferencia de x". La expresión dx no se considera por separado sino que forma parte de la notación que significa "la integral de una determinada función con respecto a x". Esto asegura que dx no tiene significado por si mismo sino que forma parte de la expresión completa . De todos modos, desde un punto de vista totalmente informal e intuitivo algunos consideran que la expresión dx indica "una porción infinitesimalmente pequeña de x" que se multiplica por un valor de la función. Muchas veces esta interpretación ayuda a entender el significado de la integral definida. Por ejemplo, si v(t) (positiva) es la velocidad de un objeto en el instante t entonces v(t) dt se podría interpretar, según la consideración hecha, como velocidad . tiempo y esto sabemos que da por resultado la distancia recorrida por el objeto durante un instante, una porción de tiempo muy pequeña dt. La integral se puede considerar como la suma de todas esas distancias pequeñas que como ya analizamos da como resultado el cambio neto en la posición del objeto o la distancia total recorrida desde t = a hasta t = b.

Esta notación permite además determinar qué unidades se deben usar para su valor. Como sabemos los términos que se suman son productos de la forma "f(x) por un valor muy pequeño de x". De esta manera la unidad de medida de es el producto de las unidades de f(x) por las unidades de x. Por ejemplo:

* si v(t) representa la velocidad medida en y t es el tiempo medido en horas, entonces la tiene por unidades . h = km. La unidad obtenida es kilómetros y es lo que corresponde porque es valor de la integral representa un cambio de posición.

* si se grafica y = f(x) con las mismas unidades de medida de longitud a lo largo de los ejes coordenados, por ejemplo metros, entonces f(x) y x se miden en metros y

tiene por unidad m . m = m². Esta unidad es la esperada dado que, en este caso la integral representa un área.

Es importante tener en cuenta el teorema enunciado a continuación.

Teorema:

• Si una función f es continua en un intervalo [a, b] entonces f es integrable en ese intervalo .

• Si f tiene un número finito de discontinuidades en [a, b] pero se mantiene acotada para todo x del intervalo (presenta sólo discontinuidades evitables o de salto finito) entonces es integrable en el intervalo.

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