en el intervalo (–1, 1).[Volver a Función continua] [Ir a Contenidos] [Ir a Inicio]
Función continua en un intervalo
Continuidad de una función en un intervalo abierto
Una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es continua en cada punto de ese conjunto.
Decimos que f(x) es continua en (a, b) sí y sólo sí f(x) es continua " x Î (a, b).
Ejemplo. Analice la
continuidad de la función h(x) =
en el intervalo (–1, 1).
Por ser una función racional, la función es continua en cada número real excepto los que anulan el denominador, x = 1 y x = -1. Como esos valores no pertenecen al intervalo, la función es continua en el intervalo (–1,1).
Ejemplo. Analice la continuidad de
la función h(x) =
en el intervalo (–2, 2).
Los posibles puntos de discontinuidad son los que anulan el denominador, x = 1 y x = -1.
A continuación se analiza lo que sucede para cada valor:
|
En x = 1 h(1) =
La función no está definida en este punto.
|
En x = - 1 h(-1)
=
|
Por lo tanto, la función es continua en (-2, -1) È (-1, 1) È (1, 2).
Ejemplo. Determine el intervalo más grande (o unión de intervalos) en el que cada función es continua:
a) h(x) = x3 - 3x
b) f(x) =
c) g(x) = log2 x
d) m(x) =
a) La función h(x) = x3 - 3x es una función continua en cada número real por tratarse de una función polinomial, por lo tanto es continua en (-¥ , +¥ ).
b) La función
f : R – {2} ® R /
f(x) =
es continua en todo su
dominio de definición, es decir en
(-¥
, 2) È (2, +¥
).
Su gráfica es:
c) La función g : R+ ® R / g(x) = log2 x es continua en todo su dominio, es decir en (0, +¥).
Su gráfica es:
d) La función m: R
® R / m(x) =
es
continua en los intervalos (-¥
, 2) È (2, +¥).
Su gráfica es:
Continuidad de una función en un intervalo cerrado
La continuidad de una función en un intervalo cerrado [a, b] no es sencilla de analizar como en el caso de intervalos abiertos. Dado que al considerar el intervalo cerrado [a, b] la función no está definida a la izquierda de a como tampoco a la derecha de b, no tiene sentido considerar los límites en a y en b. Esto hace que no se pueda definir la continuidad en esos dos puntos. Se debe definir primero la continuidad por derecha y la continuidad por izquierda en un punto.
Definición. Una función
es continua a la derecha de un número a si 
y es continua a la izquierda de a si 
.
Definición. Se dice que f(x) es continua en [a, b] sí y sólo sí
|
a) f(x) es continua en (a, b) b) c) |
 |
Ejemplo. Demuestre
que la función f(x) =
es
continua en el intervalo [–3, 3].
La función f(x)
= resulta
de la composición de las funciones y =
9 – x2
e 
. La
primera es una función polinomial, definida para todo número
real y la segunda es una función cuyo dominio es el conjunto de
todos los números reales no negativos. Por lo tanto, el dominio de
f(x) es el conjunto de todos los números reales tales que 9 –
x2
³ 0, o sea, todos los números
reales pertenecientes al intervalo cerrado [–3, 3].
La gráfica de la función f(x) es la siguiente:
En la gráfica puede observarse que la función f(x) es continua en cada número real perteneciente al intervalo abierto (- 3, 3).
Además:
y
Esto implica que la función
es continua a la derecha de –3 y es continua a la izquierda de 3. En
consecuencia, f(x) = 
es
continua en [–3, 3].
Ejemplo. Analice la
continuidad de la función g(x) =
.
Grafique.
Se analizará primero si la función es continua en el intervalo abierto (–1,2) y luego qué sucede en los extremos.
Como cada tramo que define g(x) es una función polinomial, el único valor posible de discontinuidad es x = 1.
g(1) = 7
- 2.1 = 5 
y 
Los límites laterales existen pero son distintos. Por lo tanto, no existe el límite en x = 1.
La función no es continua en x = 1.
.
La función resulta continua a la derecha de x =
-1.
.
La función resulta continua a la izquierda de x =
2.
Por lo tanto, la función es continua en [–1, 1) È [1, 2].
Gráficamente se puede resumir lo planteado de la siguiente manera:
 La función es continua en [a, b] . |
La función es continua en (a, b] . |
 La función es continua en [a, b). |
La función es continua en [a, c] y en el intervalo (c, b] . |
 La función es continua en (a, b). |
Problema. La fuerza
gravitacional ejercida por la Tierra sobre una masa unitaria a una
distancia r del centro del planeta es: F(r) =
, donde
M es la masa de la Tierra, R su radio y G es la constante gravitacional, ¿es
F una función continua?
El primer tramo corresponde a una función de primer grado, por lo tanto, es continua.
El segundo tramo también es continuo ya que r ¹ 0.
Analizamos la continuidad de F(r) en r = R:
y 
. Como
los límites laterales existen y son iguales se puede asegurar que
el límite existe, es decir,
.
=
F(r) la función es continua en r
= R. En consecuencia la función es continua.
Problema. La función que
describe el radio (en metros) del flujo circular de petróleo que se
derrama por una fisura de un tanque luego de t minutos está dada
por: r(t) = 
.
Analice su continuidad y grafique r(t).
Cada tramo de la función es continuo ya que son funciones polinomiales. Debemos analizar la continuidad donde cambian los tramos, es decir, en t = 0 y en t = 2.
Analizando la continuidad en t = 2:
= 25 ;
=
30.Como los límites laterales existen pero son distintos, la función presenta una discontinuidad de salto en x = 2.
Analizando la continuidad t = 0 por derecha:
· r(0) = 4.02 + 9 = 9
·
= 9
Es continua en 0 por derecha. Su gráfica es:
| En este momento le sugerimos que realice estos ejercicios para corroborar sus conocimientos |
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(indeterminado)
no existe
=
f(a) (continua a la derecha de a)
f(x)
=
f(b) (continua a la izquierda de b)