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| Situación 4. El área a calcular está limitada por las gráficas de dos funciones pero se encuentra en el semiplano negativo (y < 0). |
El área a calcular está comprendida entre dos funciones de ordenadas cualesquiera en el intervalo [a, b].
Tratamos de llevar este caso a la situación 3. Para ello buscamos cuánto vale el mínimo absoluto de la función g que es g(x1) y desplazamos verticalmente hacia arriba ambas funciones sumando un valor de ordenada h por lo menos igual al valor absoluto del mínimo hallado.
y de aquí 
,
que es el trasladado de A, le aplicamos lo visto en (2) y entonces:
|
Conclusión: para calcular el área no es necesario hacer el traslado al semiplano superior, siempre se calcula
teniendo en cuenta que f(x) ³ g(x).
|
Ejemplo 1: Determine el área que queda definida entre las curvas h(x) = x2 - 6x - 1 y m(x) = 6x - x2 - 11.
Graficando ambas funciones en un mismo sistema de coordenadas resulta:
Si trasladamos la función y = h(x) once unidades hacia arriba resulta y = x2 - 6x + 10
que coincide con la función y = f(x) del ejemplo anterior.
De la misma manera la función y
= m(x)
trasladada once unidades en sentido positivo genera la función
definida por y =
6x - x2
que se superpone con la ley y =
g(x) del ejemplo anterior. Así podemos asegurar que el área
encerrada por h(x) y m(x) es la misma que la determinada por f(x) y g(x),
es decir, vale 
.
Si resolvemos siguiendo el mismo criterio que en el ejemplo anterior:
A =
A =
El valor del área coincide con el que ya habíamos determinado.
Ejemplo 2: Grafique las curvas f(x) = x - x2 y g(x) = - x en un mismo sistema de ejes y determine el área de la región limitada por ellas.
Graficando ambas curvas en un mismo sistema de ejes obtenemos:
Hallamos analíticamente la
intersección resolviendo el sistema: 
.
Despejando la variable y de la segunda ecuación e igualando resulta:
x - x2 = - x Þ - x2 + 2x = 0 Þ x1 = 0 , x2 = 2
No es necesario trasladarla hacia el semiplano superior porque ya sabemos que haciendo la integral de la diferencia entre las dos funciones de la manera conveniente encontramos el área buscada.
El área de la región encerrada entre dichas curvas está comprendida entre 0 y 2, y como f(x) > g(x) en ese intervalo, es evidente que:
A =
=
=
A =
=
=
El área de la región
delimitada por las curvas es .
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